Grafik Motion Diskusi pendahuluan Mengapa ada begitu banyak persamaan dalam buku ini Mengapa para fisikawan yang tidak dapat puas dengan kata-kata tertulis seperti orang lain Tidakkah lebih mudah untuk berbicara langsung daripada gagasan cloaking di balik kriptogram matematis Notasi matematika modern adalah cara yang sangat kompak untuk Encode gagasan Persamaan dapat dengan mudah mengandung informasi yang setara dengan beberapa kalimat. Gambaran Galileos tentang suatu objek yang bergerak dengan kecepatan konstan (mungkin aplikasi matematika pertama yang bergerak) memerlukan satu definisi, empat aksioma, dan enam teorema. Semua hubungan ini sekarang bisa ditulis dalam satu persamaan. Ketika sampai pada kedalaman, tidak ada yang mengalahkan sebuah persamaan. Yah, hampir tidak ada apa-apa. Pikirkan kembali bagian sebelumnya pada persamaan gerak. Anda harus ingat bahwa tiga (atau empat) persamaan yang disajikan di bagian itu hanya berlaku untuk gerak dengan percepatan konstan sepanjang garis lurus. Karena, seperti yang saya katakan dengan benar, objek quotno pernah berjalan dalam garis lurus dengan percepatan konstan di manapun di alam semesta pada suatu waktu tertentu, persamaan ini kira-kira benar, hanya sesekali. Persamaan sangat bagus untuk menggambarkan situasi ideal, tapi mereka tidak selalu memotongnya. Terkadang Anda memerlukan sebuah gambar untuk menunjukkan apa yang terjadi pada 8212 gambar matematis yang disebut grafik. Grafik seringkali merupakan cara terbaik untuk menyampaikan deskripsi peristiwa dunia nyata dalam bentuk yang kompak. Grafik gerak datang dalam beberapa jenis tergantung pada jumlah kinematik (waktu, perpindahan, kecepatan, percepatan) yang ditugaskan ke sumbu mana. Perpindahan waktu Mari kita mulai dengan menggambar beberapa contoh gerakan dengan kecepatan konstan. Tiga kurva berbeda disertakan pada grafik di sebelah kanan, masing-masing dengan perpindahan awal nol. Perhatikan terlebih dahulu bahwa grafik semuanya lurus. (Setiap garis yang digambar pada grafik disebut kurva. Bahkan garis lurus disebut kurva dalam matematika.) Hal ini diharapkan mengingat sifat linier dari persamaan yang sesuai. (Variabel bebas dari fungsi linier dinaikkan tidak lebih tinggi dari pada daya pertama.) Bandingkan persamaan perpindahan waktu untuk kecepatan konstan dengan persamaan intersep intersep klasik yang diajarkan pada aljabar pengantar. Jadi kecepatan sesuai dengan kemiringan dan perpindahan awal ke intercept pada sumbu vertikal (umumnya dianggap sebagai sumbu kuotot). Karena masing-masing grafik ini memiliki pencegatan pada titik asal, masing-masing benda memiliki perpindahan awal yang sama. Grafik ini bisa mewakili ras dari jenis di mana kontestan semuanya berbaris di garis start (meskipun, pada kecepatan ini pastilah ada perlombaan antara kura-kura). Jika itu adalah perlombaan, maka kontestan sudah bergerak saat balapan dimulai, karena setiap kurva memiliki kemiringan non-nol di awal. Perhatikan bahwa posisi awal menjadi nol tidak selalu berarti bahwa kecepatan awal juga nol. Ketinggian kurva tidak memberi tahu Anda apa-apa tentang kemiringannya. Pada slope grafik perpindahan waktu sama dengan kecepatan. Intersepsi kuadrat sama dengan pemindahan awal. Bila dua kurva bertepatan, kedua benda tersebut memiliki perpindahan yang sama pada saat itu. Berbeda dengan contoh sebelumnya, memungkinkan grafik perpindahan suatu benda dengan akselerasi konstan tanpa nol mulai dari istirahat pada titik asal. Perbedaan utama antara kurva ini dan kurva sebelumnya adalah bahwa kurva ini benar-benar melengkung. Hubungan antara perpindahan dan waktu adalah kuadrat ketika akselerasi konstan dan oleh karena itu kurva ini adalah parabola. (Variabel fungsi kuadrat dinaikkan tidak lebih tinggi dari pada daya kedua). Sebagai latihan, mari kita hitung percepatan objek ini dari grafiknya. Ini memotong titik asal, jadi perpindahan awalnya adalah nol, contohnya menyatakan bahwa kecepatan awal adalah nol, dan grafik menunjukkan bahwa objek telah melakukan perjalanan 9 m dalam 10 detik. Angka-angka ini kemudian bisa dimasukkan ke dalam persamaan. Bila grafik perpindahan waktu melengkung, tidak mungkin menghitung kecepatan dari kemiringannya. Lereng adalah properti garis lurus saja. Objek seperti itu tidak memiliki kecepatan karena tidak memiliki kemiringan. Kata-kata quotthequot dan kuotaquot digarisbawahi di sini untuk menekankan gagasan bahwa tidak ada satu kecepatan dalam keadaan ini. Kecepatan benda seperti itu harus berubah. Percepatannya Pada garis perpindahan waktu garis lurus menyiratkan kecepatan konstan. Garis melengkung menyiratkan akselerasi. Sebuah benda yang mengalami akselerasi konstan menelusuri sebagian parabola. Meskipun objek hipotetis kita tidak memiliki kecepatan tunggal, namun tetap memiliki kecepatan rata-rata dan koleksi kecepatan seketika. Kecepatan rata-rata benda apapun dapat ditemukan dengan membagi total perpindahan dengan total waktu. Ini sama dengan menghitung kemiringan garis lurus yang menghubungkan titik pertama dan terakhir pada kurva seperti yang ditunjukkan pada diagram di sebelah kanan. Dalam contoh abstrak ini, kecepatan rata-rata dari objek adalah Sebagai titik akhir garis kecepatan rata-rata semakin dekat, indikator ini menjadi indikator yang lebih baik dari kecepatan sebenarnya. Bila dua titik bertepatan, garis itu bersinggungan dengan kurva. Proses limit ini terwakili dalam animasi ke kanan. Pada grafik perpindahan waktu rata-rata adalah kemiringan garis lurus yang menghubungkan titik akhir kurva. Kecepatan sesaat adalah kemiringan garis yang bersinggungan dengan kurva pada titik manapun. Tujuh garis singgung ditambahkan ke grafik perpindahan waktu generik kami dalam animasi yang ditunjukkan di atas. Perhatikan bahwa kemiringannya adalah nol dua kali 8212 sekali di atas benjolan di 3,0 s dan lagi di bagian bawah penyok pada 6,5 s. (Tumpukan adalah maksimum lokal sedangkan penyok adalah minimum lokal. Titik-titik seperti itu dikenal sebagai ekstrem lokal.) Kemiringan garis horisontal adalah nol, yang berarti benda itu tidak bergerak pada saat itu. Karena grafiknya tidak rata, benda itu hanya diam sesaat sebelum mulai bergerak lagi. Meski posisinya tidak berubah pada saat itu, kecepatannya pun. Ini adalah anggapan bahwa banyak orang mengalami kesulitan. Hal ini dimungkinkan untuk mempercepat namun tidak bergerak (tapi hanya untuk sesaat, tentu saja). Perhatikan juga bahwa kemiringan negatif pada interval antara benjolan pada 3 detik dan penyok pada 6,5 s. Beberapa menafsirkan ini sebagai gerak secara terbalik, namun begitulah umumnya kasusnya. Nah, ini adalah contoh abstrak. Tidak disertai teks apapun. Grafik berisi banyak informasi, namun tanpa judul atau bentuk deskripsi lainnya mereka tidak memiliki arti. Apa yang digambarkan oleh grafik ini Seseorang A mobil Sebuah lift Seekor badak Asteroid Sebuah debu lebih banyak Tentang yang bisa kita katakan adalah bahwa benda ini bergerak pada awalnya, melambat sampai berhenti, berbalik arah, berhenti lagi, dan kemudian kembali bergerak dalam Arahnya dimulai dengan (apapun arah itu). Kemiringan negatif tidak secara otomatis berarti mengemudi mundur, atau berjalan ke kiri, atau terjatuh. Pilihan tanda selalu sewenang-wenang. Tentang semua yang bisa kita katakan secara umum, adalah bahwa bila kemiringannya negatif, objeknya bergerak ke arah yang negatif. Pada grafik perpindahan waktu, kemiringan positif menyiratkan gerak ke arah positif. Kemiringan negatif menyiratkan gerak ke arah negatif. Kemiringan nol menyiratkan keadaan istirahat. Kecepatan waktu Hal yang paling penting untuk diingat tentang grafik waktu kecepatan adalah bahwa grafik kecepatan-waktu, bukan grafik perpindahan waktu. Ada sesuatu tentang grafik garis yang membuat orang berpikir mereka melihat jalan objek. Kesalahan pemula yang umum adalah melihat grafik ke kanan dan berpikir bahwa baris v 9.0 ms sesuai dengan objek yang quothigherquot daripada objek lainnya. Jangan berpikir seperti ini. Salah nya Jangan melihat grafik ini dan menganggapnya sebagai gambar objek yang bergerak. Sebagai gantinya, anggap mereka sebagai catatan kecepatan benda. Dalam grafik ini, berarti lebih tinggi lebih cepat tidak jauh. Baris v 9.0 ms lebih tinggi karena objeknya bergerak lebih cepat dari yang lain. Grafik khusus ini semuanya horisontal. Kecepatan awal setiap objek sama dengan kecepatan akhir sama dengan setiap kecepatan di antaranya. Kecepatan masing-masing benda ini konstan selama interval kedua ini. Sebagai perbandingan, bila kurva pada grafik kecepatan waktu lurus tapi tidak horizontal, kecepatannya berubah. Tiga kurva ke kanan masing-masing memiliki kemiringan yang berbeda. Grafik dengan lereng curam mengalami perubahan kecepatan tercepat. Objek itu memiliki akselerasi terbesar. Bandingkan persamaan kecepatan-waktu untuk percepatan konstan dengan persamaan intersep slope-klasik yang diajarkan dalam aljabar pengantar. Tujuh garis singgung ditambahkan ke grafik kecepatan waktu generik kami dalam animasi yang ditunjukkan di atas. Perhatikan bahwa kemiringannya adalah nol dua kali 8212 sekali di atas benjolan di 3,0 s dan lagi di bagian bawah penyok pada 6,5 s. Kemiringan garis horisontal adalah nol, artinya benda itu berhenti melaju cepat pada saat itu. Percepatannya mungkin nol pada dua kali, tapi ini tidak berarti bahwa benda itu berhenti. Agar hal itu terjadi, kurva harus mencegat sumbu horizontal. Ini terjadi hanya pada 8212 pada awal grafik. Pada kedua kali saat percepatannya nol, benda itu tetap bergerak ke arah positif. Anda juga harus memperhatikan bahwa kemiringannya negatif dari 3,0 s sampai 6,5 s. Selama waktu ini kecepatannya menurun. Ini tidak benar secara umum. Kecepatan menurun setiap kali kurva kembali ke titik asal. Di atas sumbu horizontal ini akan menjadi kemiringan negatif, tapi di bawahnya ini akan menjadi kemiringan positif. Tentang satu-satunya hal yang dapat dikatakan tentang kemiringan negatif pada grafik waktu kecepatan adalah bahwa selama selang waktu tersebut, kecepatan menjadi lebih negatif (atau kurang positif, jika Anda mau). Pada grafik kecepatan waktu, kemiringan positif menyiratkan peningkatan kecepatan ke arah positif. Kemiringan negatif menunjukkan adanya peningkatan kecepatan pada arah negatif. Kemiringan nol menyiratkan gerak dengan kecepatan konstan. Dalam kinematika, ada tiga kuantitas: perpindahan, kecepatan, dan percepatan. Dengan grafik dari jumlah ini, selalu dimungkinkan prinsip untuk menentukan dua lainnya. Akselerasi adalah laju waktu perubahan kecepatan, sehingga dapat ditemukan dari kemiringan garis singgung kurva pada grafik kecepatan-waktu. Tapi bagaimana pemindahan bisa ditentukan Mari mengeksplorasi beberapa contoh sederhana dan kemudian mendapatkan hubungan itu. Mulailah dengan grafik kecepatan-waktu sederhana yang ditunjukkan ke kanan. (Demi kesederhanaan, mari kita asumsikan bahwa perpindahan awal adalah nol.) Ada tiga interval penting pada grafik ini. Selama setiap interval, akselerasi konstan karena segmen garis lurus menunjukkan. Ketika akselerasi konstan, kecepatan rata-rata hanya rata-rata nilai awal dan akhir dalam satu interval. 0-4 s: Segmen ini segitiga. Luas segitiga adalah satu setengah kali lipat kali tinggi. Intinya, kita baru saja menghitung luas segmen segitiga pada grafik ini. Jarak kumulatif yang ditempuh pada akhir interval ini adalah 16 m 36 m 20 m 72 m Saya harap sekarang Anda melihat trennya. Area di bawah setiap segmen adalah perubahan perpindahan objek selama interval tersebut. Hal ini berlaku meski akselerasinya tidak konstan. Siapa pun yang telah mengikuti kursus kalkulus seharusnya sudah mengetahui hal ini sebelum mereka membacanya di sini (atau paling tidak saat mereka membacanya, seharusnya mereka berkata, quotOh ya, saya ingat itu). Turunan turunan pertama sehubungan dengan waktu adalah kecepatan. Turunan dari sebuah fungsi adalah kemiringan garis yang bersinggungan dengan kurva pada titik tertentu. Operasi invers dari turunan disebut integral. Bagian integral dari suatu fungsi adalah daerah kumulatif antara kurva dan sumbu horizontal selama beberapa interval. Hubungan terbalik antara tindakan turunan (kemiringan) dan integral (area) sangat penting sehingga disebut teorema dasar kalkulus. Ini berarti hubungan yang penting. Pelajari itu quotfundamentalamental nya. Anda belum melihat yang terakhir dari itu. Pada grafik kecepatan waktu area di bawah kurva sama dengan perubahan perpindahan. Waktu percepatan Grafik waktu percepatan benda yang bepergian dengan kecepatan konstan sama. Ini benar terlepas dari kecepatan objek. Sebuah pesawat yang terbang pada kecepatan konstan 600 mph (270 ms), kemalasan berjalan dengan kecepatan konstan 1 mph (0,4 ms), dan sebuah sofa sofa yang tergeletak tak bergerak di depan TV selama berjam-jam semuanya memiliki grafik waktu percepatan yang sama 8212 Garis horizontal collinear dengan sumbu horizontal. Itu karena kecepatan masing-masing benda ini konstan. Mereka tidak mempercepat. Akselerasi mereka nol. Seperti grafik kecepatan-waktu, hal yang penting untuk diingat adalah bahwa tinggi di atas sumbu horizontal tidak sesuai dengan posisi atau kecepatan, ini sesuai dengan percepatan. Jika Anda bepergian dan jatuh dalam perjalanan ke sekolah, akselerasi Anda ke tanah lebih besar daripada yang Anda alami dalam semua tapi beberapa mobil dengan performa tinggi dengan lemparan tinju ke logam logam. Akselerasi dan kecepatannya berbeda jumlahnya. Cepat tidak berarti mempercepat cepat. Kedua kuantitas itu tidak tergantung satu sama lain. Akselerasi besar sesuai dengan perubahan kecepatan yang cepat, namun tidak memberi tahu Anda apa-apa tentang nilai kecepatan itu sendiri. Ketika akselerasi konstan, kurva waktu percepatan adalah garis horizontal. Tingkat perubahan percepatan dengan waktu adalah kuantitas yang tidak berarti sehingga kemiringan kurva pada grafik ini juga tidak berarti. Akselerasi tidak perlu konstan, namun laju perubahan nomor ini tidak ada namanya. Di permukaan, satu-satunya informasi yang dapat dikumpulkan dari grafik waktu percepatan adalah percepatan pada waktu tertentu. Pada kemiringan grafik percepatan-waktu tidak ada artinya. Pencegatan quotyquot sama dengan percepatan awal. Bila dua kurva bertepatan, kedua benda tersebut memiliki akselerasi yang sama pada saat itu. Sebuah benda yang mengalami akselerasi konstan menelusuri garis horizontal. Kemiringan nol menyiratkan gerak dengan percepatan konstan. Akselerasi adalah laju perubahan kecepatan dengan waktu. Mengubah grafik waktu-kecepatan ke grafik waktu percepatan berarti menghitung kemiringan garis yang bersinggungan dengan kurva pada titik manapun. (Dalam kalkulus, ini disebut menemukan turunannya.) Proses sebaliknya memerlukan penghitungan luas kumulatif di bawah kurva. (Dalam kalkulus, ini disebut menemukan integral.) Jumlah ini kemudian merupakan perubahan nilai pada grafik kecepatan-waktu. Dengan kecepatan awal nol (dan mengasumsikan bahwa ke bawah adalah positif), kecepatan akhir dari orang yang terjatuh dalam grafik ke kanan adalah Grafik Motion Interpretasi ekonomi operasi kalkulus - univariat Slope sebagai tingkat perubahan marjinal Cara yang sangat jelas untuk dilihat Bagaimana kalkulus membantu kita menafsirkan informasi dan hubungan ekonomi adalah dengan membandingkan fungsi total, rata-rata, dan marjinal. Ambil, misalnya, fungsi biaya total, TC: Untuk nilai Q yang diberikan, katakanlah Q10, kita dapat menafsirkan fungsi ini dengan mengatakan kepada kita bahwa: ketika kita menghasilkan 10 unit barang ini, total biaya adalah 190. Kami ingin Untuk mempelajari lebih lanjut tentang bagaimana biaya berevolusi selama siklus produksi, jadi mari kita hitung biaya rata-rata, yaitu total biaya dibagi dengan jumlah unit yang dihasilkan, atau Q: Karena itu, ketika kita menghasilkan 10 unit barang ini, biaya rata-rata per unit adalah 19. Ini agak menipu, namun, karena kita masih tidak tahu bagaimana biaya berevolusi atau berubah seperti yang kita hasilkan. Sebagai contoh, unit pertama (Q 1) berharga 10 untuk diproduksi. Jelas, jika rata-rata berakhir menjadi 19, dan unit pertama harganya 10, maka biaya produksi suatu unit harus berubah saat kita menghasilkan unit yang berbeda. Sebagai alternatif, untuk lebih teknis, perubahan total biaya tidak sama setiap kali kita mengubah Q. Mari mendefinisikan perubahan total biaya untuk perubahan Q yang diberikan sebagai biaya marjinal. Sound familiar Kemiringan didefinisikan sebagai tingkat perubahan pada variabel Y (total biaya, dalam kasus ini) untuk perubahan variabel X (Q, atau unit of good) yang diberikan. Oleh karena itu, mengambil turunan pertama, atau menghitung rumus kemiringan dapat menentukan biaya marjinal untuk barang tertentu. Bagaimana dengan perubahan biaya marjinal Dengan cara itu, kita tidak bisa hanya mengevaluasi biaya pada tingkat tertentu, tapi kita dapat melihat bagaimana biaya marjinal kita berubah saat kita menaikkan atau menurunkan tingkat produksi kita. Berkat latar belakang kalkulus kita, jelas bahwa perubahan biaya marjinal atau perubahan kemiringan dapat dihitung dengan mengambil derivatif kedua. Ketiga persamaan ini sekarang memberi kita banyak informasi mengenai proses biaya, dalam format yang sangat jelas. Misalnya, hitung biaya marjinal untuk memproduksi unit ke 100 dari barang ini. Sekarang, anggap atasan Anda ingin Anda meramalkan biaya untuk unit ke-101. Anda dapat menghitung ulang biaya marjinal, atau Anda dapat mencatat bahwa turunan kedua mengatakan kepada Anda bahwa biaya marjinal diperkirakan akan berubah dengan kenaikan dua, untuk setiap kenaikan satu unit di Q. Oleh karena itu, Singkatnya, Anda dapat memulai dengan sebuah fungsi , Mengambil turunan pertama dan kedua dan memiliki banyak informasi mengenai hubungan antara variabel, termasuk nilai total, perubahan nilai total, dan perubahan nilai marjinal. Karakteristik maxima dan maxima relatif dan absolut Derivatif pertama dan kedua juga dapat digunakan untuk mencari titik maksimum dan minimum suatu fungsi. Misalnya, tujuan ekonomi bisa mencakup memaksimalkan keuntungan, meminimalkan biaya, atau memaksimalkan utilitas, antara lain. Untuk memahami karakteristik titik optimum, mulailah dengan karakteristik fungsi itu sendiri. Suatu fungsi, pada titik tertentu, didefinisikan sebagai cekung jika fungsinya terletak di bawah garis singgung di dekat titik itu. Untuk memperjelas, bayangkan grafik parabola yang terbuka ke bawah. Sekarang, perhatikan titik di bagian paling atas parabola. Menurut definisi, garis yang bersinggungan dengan titik itu adalah garis horizontal. Yang jelas bahwa grafik bagian atas parabola, di sekitar titik, semua terletak di bawah garis singgung, oleh karena itu, grafik cekung di sekitar titik itu. Perhatikan berapa banyak perawatan yang dilakukan untuk membatasi pembahasan cekungan ke bagian fungsi di dekat titik yang dipertimbangkan. Misalkan fungsi polinomial order lebih tinggi, yang berbentuk kurva dengan 2 atau lebih titik balik. Akan mudah membayangkan sebuah fungsi di mana bagian di bawah garis singgung horizontal, berbalik lagi, dan kembali melewati batas. Definisi cekungan hanya mengacu pada bagian fungsi di dekat titik di mana garis singgung menyentuh kurva, tidak perlu dipegang di mana-mana pada kurva. Perhatikan garis singgung itu sendiri. Ingat dari bagian masa lalu pada fungsi linier bahwa kemiringan garis horizontal atau fungsinya sama dengan nol. Oleh karena itu, kemiringan di bagian atas atau titik balik fungsi cekung ini harus nol. Cara lain untuk melihat ini adalah dengan mempertimbangkan grafik di sebelah kiri titik balik. Perhatikan bahwa fungsinya miring ke atas, yaitu memiliki kemiringan yang lebih besar dari nol. Bagian grafik di sebelah kanan titik balik miring ke bawah, dan memiliki kemiringan negatif, atau kemiringan kurang dari nol. Saat melihat grafik dari kiri ke kanan, Anda dapat melihat bahwa kemiringan pertama positif, menjadi angka positif lebih kecil yang mendekati titik balik, negatif ke kanan titik balik, dan menjadi negatif yang lebih besar. Nomorkan lebih lanjut Anda melakukan perjalanan dari titik balik. Karena ini adalah fungsi kontinu, harus ada titik di mana kemiringan melintasi dari yang positif ke negatif. Dengan kata lain, untuk sesaat, kemiringannya harus nol. Hal ini telah kita identifikasi sebagai titik balik. Ada cara yang lebih mudah untuk mengidentifikasi apa yang sedang terjadi. Ingatlah bahwa derivatif kedua memberi informasi tentang perubahan kemiringan. Kita dapat menggunakannya bersamaan dengan turunan pertama pada peningkatan titik x (saat Anda melakukan perjalanan ke kiri ke kanan pada grafik) untuk menentukan karakteristik identifikasi fungsi. Sebagai contoh, lihat fungsi berikut dan grafiknya: Perhatikan bahwa derivatif kedua negatif berarti derivatif pertama selalu menurun karena perubahan (positif) yang diberikan pada x, yaitu x meningkat, (selalu membaca grafik dari kiri ke kanan ). Jika turunan pertama selalu menurun, DAN kita tahu itu berjalan melalui nol pada titik balik, maka harus terjadi bahwa fungsi cekung di sekitar titik balik - yaitu. Titik balik adalah titik maksimum. Agar dapat sepenuhnya menghargai hasil ini, mari pertimbangkan sebaliknya - fungsi cembung, yaitu fungsi yang berada di atas garis yang bersinggungan dengan titik balik, di sekitar titik tersebut. Bergerak dari kiri ke kanan, perhatikan bahwa kemiringannya negatif, melewati nol pada titik balik, lalu menjadi positif. Oleh karena itu, kita akan mengharapkan fungsi yang mendasari menjadi salah satu di mana turunan pertama adalah nol pada titik balik, dengan turunan positif kedua di sekitar titik balik, menunjukkan kemiringan yang meningkat. Dua kondisi ini merupakan karakteristik fungsi dengan titik minimum. Karakteristik turunan pesanan pertama dan kedua tidak hanya menggambarkan fungsi dengan poin maksimum dan minimum, namun cukup untuk membuktikan bahwa poin yang dipertimbangkan adalah poin maksimum atau minimum. Mari kita meninjau karakteristiknya: Nilai minimum relatif pada titik xa akan memiliki derivatif f (a) 0 dan f (a) gt 0. Maksimum relatif pada titik xa akan memiliki derivatif f (a) 0 dan f (a) lt 0 Perhatikan, kata relatif digunakan untuk menunjukkan titik maksimum atau minimum di lingkungan titik (xa). Hanya jika bisa dibuktikan bahwa satu dan hanya satu max atau min ada bisa dianggap sebagai titik optimum mutlak. Untuk tujuan kita, ini hanya akan terjadi jika turunan kedua adalah konstanta, artinya fungsi berjalan melalui titik balik hanya satu kali, dan karena itu hanya memiliki satu maksimum atau minimum. Pengoptimalan yang tidak terbatas Sekarang kita dapat menggunakan diferensiasi untuk mengumpulkan begitu banyak informasi mengenai karakteristik fungsi, optimalisasi fungsi ekonomi akan sangat mudah. Dengan adanya fungsi terdiferensiasi yang kontinyu, ikuti langkah-langkah ini untuk menemukan fungsi minimum atau minimum relatif dari suatu fungsi: 1. Ambil turunan pertama dari sebuah fungsi dan temukan fungsi kemiringannya. 2. Tetapkan dydx sama dengan nol, dan selesaikan x untuk mendapatkan titik kritis atau poinnya. Ini adalah kondisi orde pertama yang perlu. 3. Ambil turunan kedua dari fungsi aslinya. 4. Gantikan x dari langkah 2 ke turunan kedua dan selesaikan, perhatikan secara khusus tanda turunan kedua. Ini juga dikenal sebagai evaluasi turunan kedua pada titik kritis, dan menyediakan kondisi orde dua yang cukup. 5. Gunakan karakteristik berikut untuk menentukan apakah fungsi yang dievaluasi pada titik kritis atau poinnya adalah minimum atau minimum relatif: Anda mungkin akan selalu berlatih pada fungsi di mana maksimum atau minimumnya ada, namun perlu diingat bahwa Anda akan melakukan kegiatan publik. Kebijakan di dunia nyata Hanya karena Anda mencari kuantitas yang mengoptimalkan keuntungan atau tingkat produksi yang meminimalkan biaya tidak berarti itu benar-benar ada. Itulah mengapa Anda selalu harus mengikuti semua langkah dan mengkonfirmasi semua hasil dengan kondisi yang diperlukan dan cukup. (Terutama memastikan bahwa titik optimum Anda adalah tipe yang Anda butuhkan, yaitu maks jika Anda memaksimalkan dan min jika youre meminimalkan) Perhatikan contoh berikut. Contoh 1: Carilah nilai kritis dari fungsi berikut, dan uji untuk menentukan apakah fungsi itu cembung atau cekung dan memiliki minimum atau minimum relatif: Solusi 1: Ambil turunan pertama dan sederhanakan, dan kemudian selesaikan nilai kritisnya. Ini adalah nilai x di mana kemiringan fungsi sama dengan nol: Evaluasi fungsi pada titik kritis yang ditentukan di atas (ini bukan langkah yang diperlukan, tapi untuk latihan dan untuk memberi konteks untuk menyelesaikannya dengan baik): Sekarang, tentukan Turunan kedua dan menilainya pada titik kritis: Derivatif kedua selalu negatif, berapapun nilai x. Ini memberi kita dua informasi. Pertama, fungsi memiliki maksimum relatif (yaitu cekung), dan kedua, bahwa turunan kedua konstan menyiratkan titik balik tunggal, dan karena itu maksimum relatif juga merupakan maksimum absolut. Contoh 2: Dengan adanya fungsi biaya total berikut, tentukan tingkat produksi yang meminimalkan biaya rata-rata, dan tingkat yang meminimalkan biaya marjinal: Solusi 2: Mengkonversi total fungsi biaya menjadi fungsi biaya rata-rata dengan membagi dengan Q: Sekarang, Untuk meminimalkan fungsi biaya rata-rata, ikuti langkah-langkah yang tercantum di atas. Mulailah dengan mengambil turunan pertama, seting nilainya sama dengan nol, dan selesaikan untuk poin-poin kritis T: Ketika Q 12, fungsi biaya rata-rata mencapai optima relatif sekarang kita uji untuk cekungan dengan mengambil turunan kedua dari biaya rata-rata: Perhatikan derivatif kedua Positif untuk semua nilai Q, termasuk titik kritis Q 12, oleh karena itu dengan uji orde kedua, fungsinya memiliki nilai minimum relatif pada titik kritis. Karena turunan kedua adalah konstan, minimum relatif juga minimum absolut. Perhatikan bahwa kami mampu membuktikan biaya rata-rata diminimalkan saat Q adalah 12, tanpa harus benar-benar menentukan biaya rata-rata. Sekarang, untuk meminimalkan biaya marjinal. Dari total biaya fungsi asli, turunkan turunan pertama untuk mendapatkan fungsi kemiringan, atau tingkat perubahan total biaya untuk perubahan Q yang diberikan, yang juga dikenal sebagai biaya marjinal. Sekarang, ikuti langkah-langkah untuk meminimalkan fungsi biaya marjinal. Meskipun MC adalah fungsi untuk kemiringan biaya total, abaikan itu dan perlakukan sebagai fungsi yang berdiri sendiri, dan ambil turunan orde pertama dan kedua sesuai dengan langkah-langkah pengoptimalan. Bila Q sama dengan 8, fungsi MC dioptimalkan. Uji untuk maks atau min: Derivatif kedua MC positif untuk semua nilai Q, oleh karena itu fungsi MC adalah cembung, dan relatif minimum bila q sama dengan 8. Contoh 3: Temukan titik optimum fungsi keuntungan Dan tentukan tingkat produksi Q yang akan memaksimalkan keuntungan. Mulailah dengan mengambil derivatif pertama dan kedua: Tetapkan derivatif pertama sama dengan nol dan selesaikan untuk poin kritis: Gunakan teknik persamaan kuadrat untuk menyelesaikan persamaan di atas. Perhatikan bahwa ada 2 poin penting, namun dari sudut pandang ekonomi, hanya satu yang tersedia bagi kita sebagai solusi untuk masalah kita, karena kita tidak dapat menghasilkan kuantitas negatif. Evaluasi turunan kedua pada Q sama dengan 24 untuk menentukan cekung. Derivatif kedua kurang dari nol, yang berarti fungsi kita cekung dan memiliki maksimum relatif bila Q sama dengan 24. Satu catatan terakhir: judul bagian ini adalah pengoptimalan yang tidak dibatasi. Kata yang tidak dibatasi mengacu pada fakta bahwa kita tidak menempatkan batasan pada hubungan fungsional yang kita optimalkan. Dengan kata lain, kita mengasumsikan bahwa setiap tingkat variabel x tersedia bagi kita, dengan pengecualian dunia nyata dari nilai negatif dari jumlah fisik (ingat Q40 telah dikesampingkan). Tentu saja, ini tidak realistis, dan karena model kita menjadi lebih realistis di bagian multivariat, kita akan menambahkan kendala pada masalah pengoptimalan kita. Tidak ada gunanya melakukan pengoptimalan terkendali dalam proses univariat karena selalu mudah untuk menanamkan batasan dalam salah satu persamaan dan menggunakan proses yang sama seperti yang diuraikan dalam bagian ini.100 Tahun Sejarah Pasar Saham (grafik log) Pada masa-masa gejolak , Seperti krisis keuangan, saya mencari salah satu dari grafik besar itu dengan sebuah panah bertuliskan, 8220 Anda ada di sini.8221 Dalam semangat inilah saya menawarkan grafik log jangka panjang berikut yang merangkum lebih dari 100 tahun DJIA (Dow Jones Industri Rata-rata) sejarah kinerja. Saya akan menunda sebagian besar analisis saya sampai nanti, dan untuk posting ini sangat bergantung pada apa yang oleh profesor statistik saya biasa saya sebut dengan trauma 8220interocular.8221 Dow Jones 100-Year Stock Market History Chart Indeks Dow 100 Tahun Sejarah Chart Kinerja Pasar Saham 1900 Telah Bergantian Antara Kegembiraan dan Kecenderungan Diatas adalah grafik kinerja pasar saham (Dow Jones) sejak tahun 1900 (klik pada gambar untuk memperbesarnya). Ini menunjukkan harga penutupan akhir tahun sampai tahun 2012. (Lihat Pengembalian Tahunan untuk bagan bar pengembalian setiap tahunnya.) Sementara beberapa orang menggambarkan sejarah ini sebagai tren naik jangka panjang yang mantap, bagiku tampaknya menunjukkan periode kegembiraan dan kegembiraan. Tidak tertarik Misalnya, periode dari 821733 sampai 821765, dan dari 821782 menjadi 821799 merupakan periode kegembiraan. Dari 821733 menjadi 821765, rata-rata pengembalian sekitar 7 per tahun, ditambah dividen - dengan total sekitar 10. Dari 821782 sampai 821799, tingkat pengembalian rata-rata sekitar 15 per tahun, sekali lagi ditambah dividen 8211 meskipun dividen dalam beberapa dekade terakhir jauh lebih kecil daripada Mereka berada di dekade sebelumnya. Periode Long Flat Di sisi lain, penutupan tahun 1905 dari 96 tidak hilang secara permanen sampai 28 tahun kemudian - 1933, penutupan tahun 1965 dari 969 tidak hilang secara permanen sampai 17 tahun kemudian - 1982. Saya menggunakan kata 8220disinterest8221 untuk mengkarakterisasi ini. Periode datar yang panjang. (Catatan: Ini adalah grafik log. Jika Anda tidak mengenalnya, lihat tentang Grafik Log Pasar Saham.) Dalam jangka panjang, Anda akan memperkirakan bahwa kinerja pasar saham harus mendekati kinerja bisnis yang mendasarinya. Oleh karena itu, penafsiran yang jelas dari grafik ini adalah bahwa pasar saham secara berkala berada di depan dirinya sendiri dengan meningkatkan lebih cepat daripada bisnis yang mendasarinya, dan kemudian harus menunggu nilai bisnis yang mendasari 8220real8221 untuk mengejar ketinggalan pada periode yang panjang dan datar tahun 8220. .8221 Jika demikian, kita bisa berada dalam periode yang lain dari periode 8220disinterest8221 - meskipun ketika Anda benar-benar berada di salah satu periode itu, Anda mungkin menemukan kata-kata lain yang lebih deskriptif8230. Catatan: Bagan dan diskusi di atas mengabaikan dampak inflasi. Untuk melihat periode flat yang panjang disesuaikan dengan inflasi, lihat 100 tahun Sejarah Pasar Saham yang Disesuaikan dengan Inflasi. Peringatan: tidak untuk yang lemah Hati Update Bulanan, amp Menambahkan Angka Bergerak 25 Tahun sebagai Tingkat Dukungan Posisi Kinerja Pasar 2013 Maret 2013 mencakup rekap bulan terakhir dan tahun-to-date, ditambah perbandingan dengan yang penting Tonggak seperti titik tertinggi sepanjang masa dan titik terendah. Selain itu, ini mencakup proyeksi terbaru untuk return pasar 10 tahun. Rata-rata pergerakan 25 tahun bisa menjadi tambahan yang berguna untuk grafik di atas. Seperti yang dibahas dalam Dow 25-Year Moving Average History. Pasar sangat jarang jatuh di bawah rata-rata pergerakan 25 tahun. Artinya, secara historis, rata-rata pergerakan ini merupakan tingkat dukungan yang andal selama pasar beruang sekuler. Grafik itu diperbarui jarang, jika sesuai. Oh, apa yang dimaksud dengan trauma 8220interocular8221 Itu adalah cara mendahului Profesor Harry Roberts8217 untuk mengatakan bahwa Anda benar-benar memukul Anda tepat di antara mata.8221 Bacaan yang Disarankan: Perspektif jangka panjang lainnya memuat 100 Tahun Tingkat Bunga Obligasi Treasury. Perspektif serupa pada suku bunga. Sejarah Pasar Saham yang Disesuaikan dengan Inflasi. Seperti posting ini, tapi disesuaikan dengan inflasi. Dan, perspektif pembukaan mata yang lain pada periode datar yang panjang. 100 Tahun Riwayat Harga Perumahan. Grafik indeks harga perumahan sejak tahun 1900. Membandingkan Perumahan vs Pertumbuhan Pasar Saham. Menunjukkan pertumbuhan pasar saham jangka panjang termasuk dividen yang diinvestasikan kembali (bagan di atas tidak termasuk dividen). Dow Return Tahunan Sejarah. Grafik batang pengembalian total tahunan (termasuk dividen) mulai tahun 1929. Riwayat Harga Rentang Dow Jones Sejak 1929 - Grafik Tahunan. Perspektif serupa pada rasio PE. Lebih dekat melihat gelembung, bergantian excitementdisinterest, periode jangka panjang yang lamban Chart of 1929 Stock Market Crash untuk melihat lebih dekat pada 1929-1932. 25 Terbaik amp Terburuk tahunan saham pasar kembali. Melihat lebih dekat pada pengembalian 1 tahun. Meminjam Kembali dari Masa Depan. Harga kinerja saat ini yang luar biasa dapat menurunkan tingkat pengembalian di masa depan. Dow Index Inflation-Adjusted Close History. Dampak penyesuaian inflasi pada periode flat yang panjang. Komposisi Pengembalian 10 Tahun. Perspektif tambahan tentang kegembiraan bergantian dan fenomena yang tidak mengenakkan. Kegilaan irasional Buku Robert Shiller8217 membahas penyebab gelembung, dan menumbuhkan ledakan gelembung teknologi pada tahun 2000. Yang Takut pada Pasar Sideways. Perspektif menarik pada periode datar yang panjang dari Morningstar. Untuk posting populer lainnya, lihat sidebar ke kiri atau header blog. Data dan Komputasi Bagi mereka yang ingin melakukan analisis tambahan, lihat posting ini untuk tautan ke data penutupan Dow Jones tahunan saya dan penghitungan terkait. Spreadsheet akan menghitung secara otomatis tingkat pertumbuhan Dows antara dua tahun yang Anda masukan (misalnya, return pasar saham rata-rata antara tahun 1982 dan 1999, termasuk dividen). Hak Cipta 169 2011. Terakhir diubah: 3302013 Berbagi Artikel Ini Bookmark this on Delicious Untuk berbagi melalui Facebook, Twitter, dll lihat link di bawah ini Anon, Data dari spreadsheet yang saya buat (secara manual) beberapa waktu di tahun 1990an. Saya hampir yakin bahwa data asli (sampai 1989) berasal dari Buku Pegangan Keuangan Barrons Finance (Edisi Ketiga). Data sejak saat itu adalah dari beberapa kombinasi Barron, Morningstar dan koran lokal dari tempat saya tinggal saat itu. Saya menduga itu tidak banyak membantu Anda. Jadi, saya akan melihat apakah saya dapat mengetahui cara memposting spreadsheet. Mungkin butuh beberapa saat. Bank sentral dengan sembarangan merancang sebuah gelembung besar untuk dibentuk mulai tahun 1980an, begitu besar hingga mengecilkan gelembung tahun 1920-an. Siapa pun yang mengira kita keluar dari ok ini perlu memeriksa kembali faktanya. Semua usaha saat ini untuk kembali mengembang gelembung ini, seperti mobil bersubsidi wajib pajak, penjualan rumah dan peralatan hanya akan mempercepat hari ketika negara-negara bekas berada pada belas kasihan dunia. Saya setuju dengan analisis Anda sampai titik ini adalah kita sekarang. Namun, masalahnya adalah kami mengirim pekerjaan ke luar negeri dengan kecepatan yang mengkhawatirkan. Yang dulu adalah perusahaan Amerika sekarang multinasional, dan perusahaan-perusahaan tersebut telah mengalihkan operasinya ke China dan tempat lain. Dalam jangka panjang seiring tren ini berkembang, Amerika Serikat akan menghadapi deflasi karena penurunan nilai dan upah turun. Pada saat yang sama, pemerintah Amerika telah menghapus sebagian besar pengamanan yang diberlakukan setelah Depresi Besar, dan dengan demikian menempatkan kita pada posisi bagi bank dan rumah broker untuk gagal. Kecuali peraturan membuat bank, bank dan membatasi ukuran dan fungsinya, dan rumah broker tidak diizinkan menjadi bank, sistem keuangan kita tidak akan masuk akal. Sangat menghargai analisis anda disini Sekarang lebih dari setahun kemudian, menurut Anda bagaimana situasi berubah, saya tidak yakin bahwa saya mengerti pertanyaan Anda, tapi saya akan menjawabnya juga. Nilai melihat grafik 100 tahun adalah bahwa satu tahun tambahan tidak banyak berubah. Itulah keuntungan melihat sejarah dari perspektif yang luas ini. Ketika saya memperbarui grafik 100 tahun di akhir tahun, bagi saya, hal itu tidak akan terlihat berbeda secara signifikan dari tampilannya setahun yang lalu. Akibatnya, interpretasi saya mungkin sama - saya masih akan melihat sejarah pasar saham yang terdiri dari periode kegembiraan yang diikuti oleh periode rata-rata yang relatif singkat (di mana bisnis yang mendasarinya harus mengejar pasar saham sebelumnya yang euforia. Jadi, saya tidak akan terkejut jika bertahun-tahun dari sekarang jiwa yang berpikiran serupa melakukan analisis serupa mencapai kesimpulan yang sama. Dalam hal ini, situasinya tidak berubah. Tapi, pahamilah apa yang terlihat quotflatquot di belakang tidak terasa seperti saat Anda berada di tengahnya. Misalnya, 1973-74 tahun yang mengerikan untuk pasar saham 1975-76 sangat bagus. Di belakang, mengambil pandangan besar, semua tahun itu adalah bagian dari periode datar yang panjang. Jadi, meski dalam periode datar ini ada peluang untuk membuat, atau kehilangan, banyak uang dalam jangka pendek. Dari sudut pandang itu, jelas bahwa situasi telah berubah dalam investasi setahun yang lalu akan menghasilkan hasil yang lebih baik daripada berinvestasi sekarang. Saya menduga Anda sudah tahu itu.
No comments:
Post a Comment